Question

Rezolvare completa daca se poate, mersi.

Answer 1

Salut,

Relațiile lui Viete ar fi așa:

x₁ + x₂ = --b / a = --[--2(m -- 1)]/1 = 2m -- 2.

x₁·x₂ = c / a = (2m² -- 2m) / 1 = 2m² -- 2m

(x₁ + x₂)² = x²₁ + x²₂ + 2x₁·x₂ => x²₁ + x²₂ = (x₁ + x₂)² -- 2x₁·x₂ =
= (2m --2)² -- 2(2m² -- 2m) = 4m² -- 8m + 4 -- 4m² + 4m = 4 -- 4m = 4(1 -- m).

Relația din enunț se scrie așa:

$\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{4(1-m)}{2m^2-2m}=\dfrac{4(1-m)}{2m(m-1)}=\\\\\\=-\dfrac{4(m-1)}{2m(m-1)}=-\dfrac{2}{m}=4,\ deci\ m=-\dfrac{1}2.$

Green eyes.

Answer 2

Ne putem folosi de relatiile lui Viete:

Pentru ecuatia ax² + bx + c = 0 :

[tex]S=x_1+x_2=- \frac{b}{a} \\ P=x_1x_2= \frac{c}{a}\\ [/tex]

In cazul nostru a = 1, b = -2(m - 1) ; c = 2m² - 2m

[tex]S= 2(m-1)\\ P=2m(m-1) [/tex]

Vom scrie urmatoarea relatie in functie de suma si produs:

[tex]\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}= \frac{S^2-2P}{P}= \frac{4(m-1)^2-4m(m-1)}{2m(m-1)}=\\\\ = \frac{2(m-1)-2m}{m}=- \frac{2}{m} [/tex]

Observatie: am putut simplifica fractia prin (m - 1) deoarece ni se specifica la inceput ca m ≠ 1, asadar m - 1 ≠ 0.

$-\frac{2}{m} =4 \rightarrow m= -\frac{1}{2}$