Question

Rezolvați ecuația
${3}^{x} + {4}^{x} = {5}^{x}$
​

Answer 1

Salut,

Îți ofer o rezolvare completă, pentru clasa a X-a.

Dacă împărțim ecuația membru cu membru cu $5^x$, atunci avem că:

$\left(\dfrac{3}5\right)^x+\left(\dfrac{4}5\right)^x=1,\ sau\ \left(\dfrac{3}5\right)^x+\left(\dfrac{4}5\right)^x-1=0.\\\\\\Not\breve{a}m\ cu\ f(x)=\left(\dfrac{3}5\right)^x+\left(\dfrac{4}5\right)^x-1.$

Funcția f(x) este o sumă a două funcții descrescătoare (adică (3/5)ˣ și (4/5)ˣ) la care se adaugă valoarea --1 care este constantă.

Știm că orice funcție exponențială cu baza subunitară (cazul de față) este o funcție exponențială descrescătoare.

Asta înseamnă că funcția f(x) este strict descrescătoare pe domeniul R pe care este definită (R - mulțimea numerelor reale), pentru că este suma a două funcții exponențiale descrescătoare și a unei funcții constante.

Dacă funcția este strict descrescătoare, înseamnă că este monotonă, deci pe întreaga mulțime R nu face decăt să descrească, deci la intersecția cu axa orizontală OX avem un singur punct de intersecție.

De aici rezultă că ecuația din enunț are o singură soluție care este x = 2.

Am atașat și o reprezentare grafică a funcției f(x), să te ajute la înțelegerea soluționării.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.