Question

Rezolvati ecuatia: $\sqrt{1+ \sqrt{x^2} }+ \sqrt{1-x}=1-x$
Mersi

Answer 1

<=> √1+|x| + √1-x = 1-x
Avem 3 cazuri :
cazul 1: x<0
√1-x +√1-x = 1-x
2√1-x=1-x Impartim prin √1-x => √1-x = 2 . Ridicam la patrat => 1-x=4 =>x=-3
cazul 2: x>0
√1+x + √1-x = 1-x. Ridicam la patrat => 1+x+1-x+√(1-x)(1+x)=(1-x)² .Ridicam din nou la patrat => (1-x)(1+x)=(1-x)^4. Impartim prin (1-x) pentru ca observam ca x=1 nu este solutie a ecuatiei (deci putem face impartirea) => 1+x=(1-x)³ =>
1+x = -x³+3x²-3x+1 <=> x³-3x²+4x=0 => x(x²-3x+4) = 0 => x= 0 nu convine sau x²-3x+4=0. Avem delta = 9-16 =-7 => nu are ecuatii in R => ecuatia nu are solutii in R
cazul 3: x=0
Observam ca x=0 nu este solutie.
Deci singura solutie in R a ecuatiei este x = -3

Answer 2

Aici, conditiile de existenta conduc la o mai rapida solutionare

Membrii ecuatiei sunt numere pozitive, deci avem o mai mare marja de manevrabilitate.

$\sqrt{1+\sqrt{x^2}} \ \textgreater \ 0, \forall x\in \mathbb{R}\ \ \ (*)$

Scriem ecuatia astfel:  


$1-x= \sqrt{1-x} +\sqrt{1+\sqrt{x^2}} \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} 1-x\ \textgreater \ \sqrt{1-x}|_{\ : \sqrt{1-x}} \\\;\\ \sqrt{1-x} \ \textgreater \ 1 \Longrightarrow 1-x \ \textgreater \ 1 \Longrightarrow x \ \textless \ 0 .$ 

Cu aceasta conditie de existenta, vom cauta numai solutii negative. 

Dupa cum s-a vazut, mai sus, se gaseste destul de rapid  x = -3, care va fi solutie unica.