Question

Rezolvati folosind metoda inductiei matematice

Answer 1

P(1) : n=1                1²=$\frac{1 ori 2 ori 3}{6}$
                               1=1                                                (A)

P(2) : n=2           1²+2²=$\frac{2 ori 3 ori 5}{6}$
                               5=5                                                 (A)
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P(k) : n=k    1²+2²+3²+...+k² = $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

P(k+1) : n=k+1
  1²+2²+3²+...+k² + (k+1)² = $\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$
  $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ + (k+1)² =  $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
[Amplificam (k+1)² cu 6 pentru a avea numitor comun]
   $\frac{k(k+1)(2k+1)+ 6(k+1)²}{6}$ =$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
[In membrul stang dam factor comun pe (k+1)]
   $\frac{(k+1)(k(2k+1)+ 6(k+1)}{6}$ = [/tex] =$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
   $\frac{(k+1)(2k² + k + 6k +6)}{6}$ = [/tex] =$\frac{(k+1)(2k² + 3k + 4k +6)}{6}$
   $\frac{(k+1)(2k² + 7k + 6)}{6}$ = $\frac{(k+1)(2k² + 7k + 6)}{6}$         (A)
 
* unde acel  A la a 2-a  inseamna  numar la patrat
     ex: 2k A2 =  2k la patrat