Matematică, întrebare adresată de Utilizator anonim, 9 ani în urmă

Rezolvati in multimea numerelor intregi xy+xz+yz-xyz=2.

albastruverde12: Solutie: Tinem cont de identitatea (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1. Iar cu informatia din ipoteza, avem (x-1)(y-1)(z-1)=x+y+z-3. Cu substituia u=x-1, v=y-1, w=z-1, ecuatia devine u+v+w=uvw.

albastruverde12: Daca unul dintre numere este nul, de exemplu u, obtinem v+w=0, de unde obtinem solutia (u,v,w)=(0,k,-k) + permutarile acesteia.

albastruverde12: Daca numerele sunt nenule...Observam ca daca (a,b,c) este solutie a ecuatiei u+v+w=uvw, atunci si (-a,-b,-c) este solutie. Prin urmare este suficient sa analizam doar doua cazuri: i) u,v,w sunt pozitive ; ii) unul singur dintre numerele u,v,w este negativ.

albastruverde12: i) Cazul 1 se analizeaza usor: Datorita simetriei, putem presupune fara a restrange generalitatea ca u<=v<=w. Ecuatia se rescrie 1/(uv)+1/(vw)+1/(uw)=1 <= 3/u^2, de unde u^2<=3. Deci u=1 => 1/v+1/w+1/(vw)=1<=2/v+1/v^2 <=> v^2<=2v+1 <=> (v-1)^2<=2. Convine v=1 si v=2. Daca v=1 => 2+w=w, imposibil. Daca v=2, rezulta w=3. Am mai gasit o solutie: (u,v,w)=(1,2,3) + permutari.

albastruverde12: ii) Cazul 2 : Putem presupune ca u<0. Atunci v,w>0. Avem v+w=u(vw-1). Avem v+w>0, deci u(vw-1)>0 => vw-1<0 => vw<1, imposibil, caci v,w>0 sunt intregi, si deci vw>=1.

albastruverde12: In baza observatiei din al treilea comentariu, avem umatoarele solutii: (0,k,-k) + permutari (k intreg) // (1,2,3) + permutari // (-1,-2,-3) + permutari. Revenind la problema initiala... Am notat la inceput u=x-1, si analoagele. Solutia problemei este (x,y,z)=(u+1,v+1,w+1), unde u,v,w au fost determinate.