Question

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

Answer 1

Conditii de existenta:

2-x>0

Ridicam ambele parti la patrat si obtinem:

2-x = (3x-2)²

2-x = 9x²-12x+4

-9x²+11x-2 = 0

9x²-11x+2 = 0

Delta = 121-4*9*2 = 49

x1 = (11+7)/18 = 1 solutie

x2 = (11-7)/18 = 4/18 = 2/9 nu verifica conditia

Answer 2

Condițiile de existență a ecuației:

$\it 2-x\geq0 \Rightarrow 2\geq x \Rightarrow x\leq2 \Rightarrow x \in (-\infty,\ 2]\ \ \ \ (1)\\ \\ 3x-2\geq0 \Rightarrow 3x\geq2 \Rightarrow x\geq\dfrac{2}{3} \Rightarrow x\in\Big [\dfrac{2}{3},\ \infty\Big)\ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow D=\Big [\dfrac{2}{3},\ 2\Big ] \ \ \ \ domeniul\ de\ existen\c{\it t}\breve{a}$

$\it \sqrt{2-x}=3x-2 \Rightarrow (\sqrt{2-x})^2=(3x-2)^2 \Rightarrow 2-x=9x^2-12x+4 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 9x^2-11x+2=0 \Rightarrow 9x^2-9x-2x+2=0 \Rightarrow 9x(x-1) -2(x-1) =0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow(x-1)(9x-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} \it x-1=0 \Rightarrow x=1\in D \\ \\ \it 9x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{2}{9}\not\in D \end{cases}$

Prin urmare, ecuația dată admite o singură soluție:    x = 1.