Question

Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia(photo)
Nu stiu ce conditii de existenta sa pun deoarece imi iasa 2 solutii si doar una este buna.

Answer 1

5-x≥0 ... ca as existe radicalul...x<5
3x-1≥0 pt ca in stanga ai ceva>0....x>1/3
rezulta x∈[1/3;5]
..............
ridicand la patrat\
9x²-5x-4=0

x1,2=(5+-√(25+144))/18= (5+-13)/18  ..o radacina e negativa..radacina pozitiva este 1 si apartine dom.de def
2=2



dar cea mai tare rezolvare era sa vezi ca functia din stanga este  strict descrescatoare pe [0;5] de la √5 la 0 , iar cea din dreapta strict crescatoare pe [0;5] de la -1 la 14
deci vor avea un singur punct de intersectie
 cum
√(5-1)=3*1-1 se observa ca x=1 verifica ecuatia
si alta radacina nu este

Answer 2

$\sqrt{5-x} = 3x-1\\ \\ Conditii de existenta: \left\{ \begin{array}{c} 5-x \geq0 \\ 3x-1 \geq 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}-x \geq-5 \\ 3x \geq 1 \end{array} \right \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow : \left\{ \begin{array}{c} x \leq5 \\\\ x\geq \dfrac{1}{3} \end{array} \right| \Rightarrow x\in \Big[\dfrac{1}{3},5\Big] \Rightarrow D = \Big[\dfrac{1}{3},5\Big]$


$\sqrt{5-x} = 3x-1 \Big|^2 \Rightarrow (\sqrt{5-x})^2 = (3x-1)^2 \Rightarrow 5-x = 9x^2-6x+1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 9x^2-6x+1+x-5 = 0 \Rightarrow 9x^2-5x-4 = 0 \\ \\ \Delta = 25 - 4\cdot 9\cdot (-4) =25+36\cdot 4 = 25+144 = 169 \\ \\ \Rightarrow x_{1,2} = \dfrac{5\pm 13}{18} \Rightarrow \left\| \begin{array}{c} x_1 = -\dfrac{4}{9} \notin D\\ x_2 = 1\in D \end{array} \right |\Rightarrow \boxed{S = \Big\{1\Big\}}$