Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia :√x+1-√x-1=√2
GreenEyes71:
Așa cum ai scris tu, √x se reduce cu -√x, iar ecuația ar fi 1 - 2 = √2, adică -1 = √2, ceea ce este fals. Nu cumva ai uitat să scrii ceva foarte important ? Știi ce ?
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
[tex] \sqrt{x+1}- \sqrt{x-1} = \sqrt{2}\\
[/tex]
Conditiile de existanta a radicalilor:
x + 1 ≥ 0 ==> x ∈ [-1, ∞)
x - 1 ≥ 0 ==> x ∈ [1, ∞)
Intersectia: x ∈ [1, ∞)
Ridicam la patrat ecuatia:
[tex](x+1)-2 \sqrt{(x+1)(x-1)}+(x-1)=2 \\ 2x-2 \sqrt{x^2-1}=2\\ \sqrt{x^2-1}=x-1 [/tex]
Ridicam din nou la patrat:
[tex]x^2-1=x^2-2x+1\\ 2x=2\\ x=1[/tex]
Conditiile de existanta a radicalilor:
x + 1 ≥ 0 ==> x ∈ [-1, ∞)
x - 1 ≥ 0 ==> x ∈ [1, ∞)
Intersectia: x ∈ [1, ∞)
Ridicam la patrat ecuatia:
[tex](x+1)-2 \sqrt{(x+1)(x-1)}+(x-1)=2 \\ 2x-2 \sqrt{x^2-1}=2\\ \sqrt{x^2-1}=x-1 [/tex]
Ridicam din nou la patrat:
[tex]x^2-1=x^2-2x+1\\ 2x=2\\ x=1[/tex]
După prima ridicare la pătrat trebuie pusă condiția ca x -- 1 ≥ 0, pentru că x -- 1 este egal cu un radical. Omiterea acestei condiții nu schimbă rezultatul în acest caz, dar trebuie să facă parte din metoda de rezolvare, pentru că în alte cazuri omiterea ei poate duce la soluții incomplete, sau incorecte.
La final soluția x = 1 trebuie confirmată că face parte din intersecția x ∈ [1, ∞), deci este soluție. În rest, este super OK, felicitări !
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Biologie,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă