Question

Rezolvati in multimea umerelor reale ecuatia radical din x-1 = x-3

Answer 1

[tex]\sqrt{x-1} = x-3 \\ \\ \boxed{1}\quad x-1\geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \\ \boxed{2} \quad x-3\geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \\ $Din \boxed{1} \cap $ $ \boxed{2} \Rightarrow D = [3,+\infty)[/tex]

$\sqrt{x-1} = x-3\Big|^2 \Rightarrow \Big(\sqrt{x-1}\Big)^2 = (x-3)^2 \Rightarrow |x-1| = x^2-6x+9 \\ x \geq 1 \Rightarrow |x-1| = +(x-1) = x-1 \\ \\ \Rightarrow x-1 = x^2-6x+9 \Rightarrow x^2-6x-x+9+1 = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow x^2-7x+10 = 0 \\ \\ \Delta = (-7)^2-4\cdot 1\cdot 10 \Rightarrow \Delta = 49 - 40 \Rightarrow \Delta = 9\Rightarrow x_{1,2} = \dfrac{-(-7)\pm \sqrt{9} }{2\cdot 1}$

[tex] \Rightarrow x_{1,2} = \dfrac{7\pm 3 }{2}\Rightarrow x_1 = 2\notin D,\quad x_2 = 5 \in D \\ \\ \Rightarrow \boxed{S = \big\{5\big\}}[/tex]

Answer 2

$\it \sqrt{x-1} =x-3 \ \ \ \ (*)$


Pentru existența ecuației date sunt necesare condițiile:

x - 1 ≥ 0 și x - 3 ≥ 0

Din aceste două condiții rezultă domeniul de existență :

D = [3,  ∞)

Acum rezolvăm ecuația și reținem soluțiile care aparțin domeniului D.


[tex]\it \sqrt{x-1} =x-3 \Rightarrow \it (\sqrt{x-1})^2 =(x-3)^2\Rightarrow x-1=x^2-6x+9 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow x^2-7x+10 = 0 \Rightarrow x^2-2x-5x+10=0\Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow x(x-2)-5(x-2)=0 \Rightarrow x_1= 2, \ \ x_2 = 5. [/tex]

Din cele două soluții, numai x = 5 ∈ D.

Prin urmare, ecuația inițială admite soluția unică x = 5.