Question

Rezolvați sistemul:
x^2=xy+2x-y
y^2 = xy+2y-x
Este sistem "aproape simetric", știu ce trebuie sa fac pana când formez al doilea sistem și greșesc câte ceva

Answer 1

Adunand ecuatiile, avem:

(x+y)²-2xy=2xy+x+y⇔4xy=(x+y)²-(x+y)    (1)

Scazand ecuatiile, obtinem:

(x+y)(x-y)=3(x-y)⇔(x-y)(x+y-3)=0. De aici avem doua variante:
1)  x-y=0⇒x=y si dupa ce inlocuim in una dintre ecuatiile sistemului ⇒x=y=0
2)  x+y=3 care inlocuit in (1), obtinem xy=3/2.
Deci avem S=x+y=3 si P=xy=3/2.

Ecuatia ale carei solutii dau suma S si produsul P, este z²-Sz+P=0.

Deci z²-3z+3/2=0

Δ=9-6=3;  $z_{1;2}=\dfrac{3\pm\sqrt3}{2};\ deci$

$(x;y)\in\left\{\left(\dfrac{3+\sqrt3}{2};\dfrac{3-\sqrt3}{2}\right);\ \left(\dfrac{3-\sqrt3}{2};\dfrac{3+\sqrt3}{2}\right);\ (0;0);\right\}$