Question

Se considera ecuatia mx² + nx + 1 = 0, unde m, n apartin R. a) Rezolvati ecuatia pentru m= -1 si n = 0. b) Determinati m, n apartin Q, stiind ca 1 + √2 este solutie a ecuatiei.

Answer 1

a) -x²+1=0⇒x²=1⇒$x_{1;2}=\pm1$

b) Daca un numar este solutie a ecuatiei, atunci inlocuind x-ul din ecuatie cu acel numar, se obtine egalitate.

m(1+√2)²+n(1+√2)+1=0
m(3+2√2)+n+n√2+1=0
3m+n+1= - √2(2m+n).  (1)
Daca 2m+n≠0, ar insemna ca avem egalitate intre un numar rational si unul irational, ceea ce este absurd.
Deci
2m+n=0
si pentru ca egalitatea  (1) sa fie adevarata, trebuie ca si
3m+n+1=0

Cu aceste doua ecuatii formam un sistem (care se rezolva foarte usor prin orice metoda), a carui solutie este m=-1;  n=2

In acest caz ecuatia devine  -x²+2x+1=0, care are solutiile 1+√2  si  1-√2.