Question

rezolvati urmatoarele exercitii:
1. aratati ca numarul B=1+$3^{1}$+$3^{2}$+...+$3^{61}$ este divizibil cu 4
2.Aratati ca numarul C=1+$2^{1}$+$2^{2}$+...+$2^{71}$ este divizibil cu 5
3.Demonstratu ca nu exista numere naturale x, astfel incat 5x+1024=abcd7cu bara deasupra

Answer 1

1)Suma are 62 de termeni.Ii grupam cate doi si avem 31 de grupe. In fiecare grupa suma este divizibila cu 4 ,deci B se divide cu 4$B=(1+3)+3^{2} (1+3)+3^{4}(1+3)+...+3^{60} (1+3)= \\ \\ 4(1+3^2+3^4+...+3^{60})\vdots 4$
2)Suma are 72 de termeni pe care ii grupam cate patru
$1+2+4+8=15\vdots5 \\ \\ C=(1+2+4+8)+2^4(1+2+4+8)+...+2^{68}(1+2+4+8)= \\ \\ 15(1+2^4+...+2^{68})\vdots 5$
3) $u.c.(5x)\in\{0;5\} \\ \\ u.c.(5x+4)\in\{4;9\}$ iar nr din membrul drept are u.c.=7. Deci nu exista numere x care sa indeplineasca aceasta conditie