Question

rezultatul calculului 1+2+2^2+2^3+...+2^2019

Answer 1

2+2^2+2^3+...+2^2019  este o progresie geometrica  unde ratia = 2

Daca il imparti pe 2^2 la 2 obtii rezultatul 2

q=2

b1=2 (primul termen al progresiei geometrice)

   S2019 =  b1*(q^(n)-1)/q-1       S2019 = 2*(2^2019-1)/(2-1)

S2019 =  2^2020-2

1+S2019 =  2^2020 -2+1 =  2^2020 -1

Answer 2

Explicație pas cu pas:

Metoda 1:

Observam ca termenii sumei noastre sunt in progresie geometrica avand primul termen $b_0=1=2^0$ si ratia $q=\frac{b_1}{b_0}=\frac{2}{1}=2$.

Aplicam formula sumei termenilor in progresie geometrica:

$S_n=b_0*\frac{q^n-1}{q-1}$ unde b₀ este primul termen, q este ratia si n este numarul de termeni.

In suma noastra, sunt 2020 de termeni intrucat intre 0 (exponentul primului termen) si 2019 (exponentul ultimului termen) sunt 2020 de numere.

$S_{2020}=2^0*\frac{2^{2020}-1}{2-1}=1*\frac{2^{2020}-1}{1}=2^{2020}-1$

.

Metoda 2:

Observam ca termenii sumei noastre (exceptand termenul 1) sunt in progresie geometrica avand primul termen $b_1=2$ si ratia $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2^2}{2}=2$.

Aplicam formula sumei termenilor in progresie geometrica:

$S_n=b_1*\frac{q^n-1}{q-1}$ unde b₁ este primul termen, q este ratia si n este numarul de termeni.

In progresia noastra, sunt 2019 de termeni intrucat intre 1 (exponentul primului termen) si 2019 (exponentul ultimului termen) sunt 2019 numere.

$S_{2019}=1+2*\frac{2^{2019}-1}{2-1}=1+2*\frac{2^{2019}-1}{1}=1+2*(2^{2019}-1)=1+2^{2020}-2=2^{2020}-1$