Question

S = 3 + 3 la 2 + 3 la 3 + ...+ 3 la12
Aratati ca S este div cu 12 cu 13 si cu 5

Answer 1

$a)~3+3^2=3+9=12$
$S=(3+3^2)+(3^3+3^4)+...+(3^{11}+3^{12})$
$S=(3+3^2)+3^2(3+3^2)+...+3^{10}(3+3^2)$
$S=(1+3^2+...+3^{10})(3+3^2)$
$S=(1+3^2+...+3^{10})\cdot12~\vdots~12$
$b)~3+3^2+3^3=3+9+27=39=3\cdot13$
$S=(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+...+(3^{10}+3^{11}+3^{12})$
$S=(3+3^2+3^3)+3^3(3+3^2+3^3)+...+3^9(3+3^2+3^3)$
$S=(1+3^3+...+3^9)(3+3^2+3^3)$
$S=(1+3^3+...+3^9)\cdot39~\vdots~13$
$c)~3+3^3=3+27=30=6\cdot5$
$S=(3+3^3)+(3^2+3^4)+(3^5+3^7)+(3^6+3^8)+(3^9+3^{11})+(3^{10}+3^{12})$
$S=(3+3^3)+3(3+3^3)+3^4(3+3^3)+3^5(3+3^3)+3^8(3+3^3)+3^9(3+3^3)$
$S=(1+3+...+3^9)(3+3^3)=(1+3+...+3^9)\cdot30~\vdots~5$