Question

S1=1+2+2^2+...+2^2011 și S2=1+2+3+....+2009.Arătați că diferența S1—S2 este divizibilă cu 10

Answer 1

inmultim S1 cu 2
2×S1=2×2^2+....2^2012
scadem din rel. noua pe S1, sivedem ca se reduc aproape toti termenii, adica ramane:
2×S1-S1=2^2012-1
deci S1=2^2012-1
aplicam principiul ultimei cifre pt 2^2012 si anume 2012 multiplu de 4:
u (2^2012)=(2^4)503=...6
deci u (S1)=...6-1=...5

S2=suma lui Gauss pt 2009
S2=2009×2010:2
inmultirea cu 2010 are ultima cifra 0
u (S2)=...0 : 2
u(S2)=...5

deci
u (S1)-u (S2)=..5-..5=...0
deci se imparte la 10