Question

Să se afle cel mai mic număr natural de două cifre, cu proprietatea că suma dintre pătratul şi cubul său este pătrat perfect.

Answer 1

Răspuns: 15

Explicație pas cu pas:

__

ab → număr natural de două cifre, pe care îl notez cu ,,n''

n² + n³  = pătrat perfect  

→ îl dau factor comun pe n²

n² × ( 1 + n ) = p.p

n² → este pătrat perfect

1 + n → să fie p.p.

1 + n ∈ { 16, 25,.......}

Cel mai mic pătrat perfect de 2 cifre este 16.

1 + n = 16 ⇒   n = 16 - 1  ⇒   n = 15

____________________________________

Verific

15² + 15³ = 15² × ( 1 + 15 ) = 15² × 16 = (15×4)² = 60² →  suma dintre pătratul şi cubul lui 15 este pătrat perfect

Answer 2

Răspuns:

15

Explicație pas cu pas:

Fie ab este numărul căutat, atunci (ab)²+(ab)³=p.p.

(ab)²+(ab)³=(ab)²·(1+ab)

Factorul (ab)² este p.p.  Este necesar ca și al doilea factor să fie p.p., adică 1+ab = p.p. Atunci și produsul (ab)²·(1+ab) va fi p.p.

1+ab=p.p. pentru ab=15, cel mai mic număr natural de două cife cu proprietatea dată.  Vom obține 1+ab=1+15=16=4²

Verificare: pentru ab=15, obținem: 15²+15³=15²·(1+15)=15²·16=15²·4²=(15·4)², e p.p.