Question

Sa se afle solutia ecuatiei (cu demonstratie daca se poate...)

$x^{x^{x^{x^{x...}}}}=2$

Answer 1

$x^{x^{x^{x^{x...}}}}=2\\ \\ Notam x^{x^{x^{x^{x...}}}}=y\ \\ Deoarece puterea x urca la infinit, putem spune ca y=x^y\\ \\ y=x^{x^{x^{x^{x...}}}} \Leftrightarrow y = x^y \\ \\ Trecem la ecuatie: \\ \\ x^{x^{x^{x^{x...}}}} = 2 \Rightarrow \left\| \begin{array}{c}y = 2 \\ dar, stim ca: \\ y=x^y \end{array} \right| \Rightarrow \left\| \begin{array}{c}x^y=2 \\ dar, stim ca: \\ y=2 \end{array} \right| \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow$

$\Rightarrow x = \pm \sqrt2$

$\\ x nu poate fi egal cu -\sqrt2 deoarece (-\sqrt2)^{-\sqrt2} nu exista.$

$\\ Un numar negativ ridicat la o putere diferita de \mathbb_{Z} nu exista.\\ \\ \\ \Rightarrow \boxed{x = \sqrt2}$