Question

Să se afle ultima cifra a numărului 8 la puterea 2005.

Să se scrie suma puterilor lui 5 cu exponentul mai mic decât 6.
Să verifice dacă nr 5n+7 este patrat perfect

Answer 1

$\displaystyle\\ 1)\\ U(8^{2005})= U(8^{2004+1})=U(8^{4\times 501+1})=U \left[\Big( 8^{4}\Big)^{501} \times 8^1})\right]=\\\\ U \left[\Big( 4096\Big)^{501} \times 8^1})\right]=U \left[ 6^{501} \times 8^1}\right]=U \left[ 6 \times 8}\right]=U(48) = \boxed{\bf 8}\\\\ 2)\\ 5^0 + 5^1+5^2+5^3+5^4+5^5=\frac{5^{5+1}-1}{5-1}=\\\\ =\frac{5^6-1}{4}=\frac{15625-1}{4}= \frac{15624}{4}=\boxed{\bf 3906}$

$\displaystyle\\ 3)\\ \text{Verificam daca }~5n+7~\text{ este patrat perfect.}\\\\ \text{Daca n este numar par atunci ultima cifra a lui }~5n~\text{ este }~0.\\ \text{Daca n este numar impar atunci ultima cifra a lui }~5n~\text{ este }~5.\\\\ \Longrightarrow~~U(5n+7) = 0+7 = 7 ~~\text{ sau } U(5+7) = U(12) = 2\\\\ \text{Nu exista patrat perfect care sa aiba ultima cifra 2 sau 7.}\\\\ \Longrightarrow~~5n+7 ~~\text{nu este patrat perfect.}$