Question

Sa se arate ca √3 ∉ { a+b√2 | a;b ∈ Z*}
As dori raspuns complet , Multumesc !

Answer 1

Presupunem ca
$\sqrt{3}\in \{a+b \sqrt{2}|a,b \in Z^*\} \rightarrow \sqrt{3}=m+n \sqrt{2};m,n \in Z^* \\ m= \sqrt{3}-n \sqrt{2} \\ Dar \\ \sqrt{3} \notin Q \\ n\in Z; \sqrt{2} \notin Q \rightarrow n \sqrt{2}\notin Q \\ \rightarrow \sqrt{3}-n \sqrt{2} \notin Q \\ m \notin Q \\ Dar\ presupunerea\ facuta\ era\ ca\ m\in Z\rightarrow \\ Presupunerea\ facuta\ este\ falsa.$

Daca m nu este rational, cu atat mai mult nu poate fi intreg.