Sa se arate ca:
a)modul de sin x+cos x <= rad2 , x apartine R
b) modul de a*sinx+b*cos x <= rad din a patrat+b patrat
(inegalitatea Caucy Schwartz)
GreenEyes71:
Trebuie doar să aplici direct inegalitatea, ce e așa de greu ? Apoi trebuie să ții cont de formula fundamentală a trigonometriei. O știi ?
..
Inegalitatea Cauchy-Schwarz :
(ac +bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²)
Dacă înlocuim c = sinx, d = cosx, rezultă:
(asinx + bcosx)² ≤ (a²+b²)(sin²x + cos²x)
Dar, sin²x + cos²x =1, iar inegalitatea devine:
(asinx + bcosx)² ≤ (a²+b²) ⇔√(asinx + bcosx)² ≤ √(a²+b²)⇔
|asinx + bcosx| ≤ √(a²+b²)
..
Inegalitatea Cauchy-Schwarz :
(ac +bd)² ≤ (a²+b²)(c²+d²)
Dacă înlocuim c = sinx, d = cosx, rezultă:
(asinx + bcosx)² ≤ (a²+b²)(sin²x + cos²x)
Dar, sin²x + cos²x =1, iar inegalitatea devine:
(asinx + bcosx)² ≤ (a²+b²) ⇔√(asinx + bcosx)² ≤ √(a²+b²)⇔
|asinx + bcosx| ≤ √(a²+b²)
..
La rezolvarea lui David pentru punctul b), dacă consideri a = 1 și b = 1, obții imediat rezolvarea pentru punctul a). Simplu, nu ?
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
15
[tex]\it sin(x+\dfrac{\pi}{4}) = \sin x \cos \dfrac{\pi}{4} +sin\dfrac{\pi}{4} \cos x =\dfrac{\sqrt2}{2}(\sin x+\cos x) \Longrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Longrightarrow sinx+cosx = \sqrt2sin(x+\dfrac{\pi}{4}) \Longrightarrow |sinx+cosx| = \sqrt2|sin(x+\dfrac{\pi}{4}) | \\\;\\ \\\;\\ Dar,\ |sin(x+\dfrac{\pi}{4}) | \leq 1 \\\;\\ \\\;\\ Deci,\ \ |\sin x+\cos x| \leq \sqrt2[/tex]
Rezolvarea este corectă, dar cerința este de a folosi inegalitatea Cauchy-Schwarz, asta este lecția la algebră la care Răzvan are tema de rezolvat.
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Engleza,
9 ani în urmă