Question

Să se arate că dacă 5 la x+2 + 5 la x+1 + 5 la x = 31∙ 5 la 2009 , atunci numărul a = 2 la x + 3 la x este divizibil cu 5

Answer 1

      x + 2            x + 1                 x
 5               +  5             +       5             =31 · 5 ²⁰⁰⁹         
metoda factor  : 
    x                                         x                              x
5           · ( 5²   + 5 ¹    + 1 )  = 5      · ( 25 +5 +1 ) = 5     · 31 = 31 ·5²⁰⁰⁹   I :31 
   x 
5              =   5 ²⁰⁰⁹    ⇒              x =2009 

a = 2²⁰⁰⁹   + 3²⁰⁰⁹ = 2²⁰⁰⁸·   2¹  + 3²⁰⁰⁸ · 3¹  =
                 ultima cifra        ↓                ↓
                                   2 + 3 = 5  , se divide cu 5

Answer 2

 [tex]5^x\cdot5^2+\cdot5^x\cdot5^1+5^x=31\cdot5^{2009};\\ 5^x\cdot(25+5+1)=31\cdot5^{2009}\;\;\Leftrightarrow\;\;5^x=5^{2009}\;\Leftrightarrow\;x=2009\\
 (a=2^{2009)+3^{2009})\;\vdots\;5 ![/tex]
pentru ca: u(2²⁰⁰⁹)=u(24⁴*⁵⁰²⁺¹)=2  si u(3²⁰⁰⁹)=u(3⁴*⁵⁰²⁺¹)=3
u(a)=u(2+3)=5 divizibil cu 5 !