Question

Sa se arate ca dacă a aparține lui Z, atunci a/3+a^2/2+a^3/6 aparține lui Z

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

aducem la numitorul comun 6, amplificand prima fractie cu 2 si a 2a fractie cu 3:

$\frac{a}{3}$ + $\frac{a^{2}}{2}$ + $\frac{a^{3}}{6}$ = $\frac{2a+3*a^{2} + a^{3}}{6}$

dam factor comun pe a:

$\frac{a(a^{2} + 3a + 2)}{6}$

$a^{2}$ + 3a + 2 = a^2 + 2a + a + 2 = a(a+2) + (a+2) = (a+2)(a+1)

-> $\frac{a(a+1)(a+2)}{6}$

fractia de mai sus apartine lui Z, daca numaratorul e divizibil cu 6, ori numaratorul e un produs de 3 numere consecutive: a, a + 1, a + 2;

un numar e divizibil cu 6 daca e divizibil si cu 2 si cu 3;

din 3 numere consecutive, cel putin unul e multiplu de 2 si altul e multiplu de 3 (ex: 9*10*11, 14*15*16) -> a(a+1)(a+2) e divizibil si cu 2 si cu 3, deci e divizibil cu 6, rezulta $\frac{a(a+1)(a+2)}{6}$ ∈ Z