Question

Să se arate că dacă şirul (xn)n> sau egal cu 1 verifică relația x1+ 2•x2+ 3•x3+...n•xn = (n+1)!-1 pentru orice n aparține lui N stelat, atunci toți termenii săi sunt numere naturale.

Answer 1

suma de n termeni 
daca n =1            x₁ = ( 1 +1) !  - 1 = 2!  - 1 =1 · 1!
        n =2           x₁ + x₂ = ( 2+ 1 ) !  - 1  = 3 ! -1 
                                  x₂ = 3! - 1  - x₁ = 3! - 1 - 2! + 1 = 3! - 2! = 2 ·2! 
       n =3            x₁ + x₂ + x₃ = 4! - 1 
                                 x₃ = 4! - 1  - 3! + 1 = 4! - 3!= 3! ·4 -3! = 3! ·( 4-1)=
                                    = 3 · 3! 
.....................................................
 se verifica         xn   = n · n! ∈ N