Question

Sa se arate ca daca z +$\frac{1}{z}$ = 2cosa atunci $z^{n}$ + $\frac{1}{ z^{n} }$ = 2cosna , unde z apartine lui C.... va rog... ajutati-ma...

Answer 1

Aducând la același numitor se obține ecuația $z^2-2\cos a\cdot z+1=0$.
$\Delta=4\cos^2a-4=4\left(\cos^2a-1)=-4\sin^2a$.
Atunci $z_1=\cos a-i\sin a, \ z_2=\cos a+i\sin a$.
În plus, $z_2=\frac{1}{z_1}$.
Atunci $z^n+\frac{1}{z^n}=z_1^n+z_2^n=\cos na-i\sin na+\cos na+i\sin na=2\cos na$.