Question

Sa se arate ca f: (-1; 1) -> (-1; 1)
$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$
este bijectiva si sa se calculeze inversa acesteia.

Answer 1

Răspuns:

asa este, fiind crescatoare (injectiva) si surjectiva

f^(-1) (x) = (1-√(1-x²))/x

Explicație pas cu pas:

vezi atasament..pag 3 si 4 monotonia fara cl 11-a

am arata ca este crescatoare pe (0;1) si ca este impara, deci simetrica fat de O, deci crescatoare si pe (-1;0)

Answer 2

$f:(-1,1)\to(-1,1),\quad f(x) = \dfrac{2x}{1+x^2}$

Injectivitate:

$\text{Daca }f(u) = f(y) \to u = v \Rightarrow f\,-\text{ injectiva}\\ \\ \dfrac{2u}{1+u^2} = \dfrac{2v}{1+v^2} \Rightarrow 2u(1+v^2) = 2v(1+u^2) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 2u+2uv^2 = 2v+2u^2v \Rightarrow 2uv^2-2u^2v = 2v-2u \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow uv(2v-2u) = 2v-2u \\ \\ \boxed{1}\quad u \neq v \Rightarrow uv = 1\quad (F) \\ \boxed{2}\quad u = v \Rightarrow 0 = 0\quad (A) \Rightarrow f\,-\text{ injectiva}$

Surjectivitate:

$\forall y\in (-1,1),\quad \exists x\in (-1,1)\quad a.i.\quad f(x) = y\\ \\ f(x) = y \Rightarrow \dfrac{2x}{1+x^2} = y \Rightarrow y(1+x^2) = 2x \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow yx^2-2x+y = 0\\ \\ \Delta_x \geq 0 \Rightarrow 4-4y^2 \geq 0,\quad \forall y\in (-1,1) \Rightarrow x\text{ exista }\forall y\in (-1,1) \\ \\ \Rightarrow f\,-\text{ surjectiva}$

Deoarece f este injectivă și surjectivă ⇒ f este bijectivă.

$x = \dfrac{2y}{1+y^2} \Rightarrow xy^2-2y+x = 0 \\ \\ \Delta_y = 4 - 4x^2 \Rightarrow y_{1,2} = \dfrac{2\pm 2\sqrt{1-x^2}}{2x} = \dfrac{1\pm \sqrt{1-x^2}}{x} \\ \\ \\\text{Dar }y \in (-1,1):\\\\\Rightarrow f:(-1,1)\to (-1,1),\quad f^{-1}(x) = \dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}$