Question

Sa se arate ca f admite primitive pe [0; +∞).

Answer 1

[tex]\text{Sa verificam daca functia este continua.Evident,pentru x}\neq 0 \\ \text{functia este continua,dar sa studiem si continuitatea in puctul }x_0=0\\ \displaystyle \limit\lim_{x\searrow 0} f(x)= \limit\lim_{x\searrow 0} x\cdot \ln x = \limit\lim_{x\searrow 0} \dfrac{\ln x}{\frac{1}{ x}}\stackrel{\frac{0}{0}}{=} \limit\lim_{x\searrow 0} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\limit\lim_{x\searrow 0}(-x)=0\\ \text{Prin urmare functia este continua pe } [0,\infty),\text{deci admite primitive.}[/tex]

Answer 2

f continua pe (0;inf) fiind compunere de functii elementare.
Studiem continuitatea in x0=0.
l$ld(0)=lim x-\ \textgreater \ 0, x\ \textgreater \ 0~xlnx=cazul~0*inf=$
$lim x-\ \textgreater \ 0, x\ \textgreater \ 0 \frac{lnx}{ \frac{1}{x} } =cazul~inf/inf~si~aplicam~l'Hospital=$
$lim x-\ \textgreater \ 0, x\ \textgreater \ 0 \frac{ \frac{1}{x} }{- \frac{1}{x^{2}} }= lim x-\ \textgreater \ 0, x\ \textgreater \ 0 -\frac{1}{x}* x^{2}=$
$lim x-\ \textgreater \ 0, x\ \textgreater \ 0 (-x)=0$
$f(0)=0$
Deci f continua in x0=0.
Cum f continua pe (0;inf) fiind compunere de functii elementare si f continua in x0=0, atunci f continua pe [0;inf).
Daca f continua pe [0;inf), adica pe tot domeniul de definitie, f admite primitive pe [0;inf).