Question

Să se arate că funcția f:D->R are derivată în punctul specificat,precizând de fiecare dată domeniul maxim de definiție D:

$a)f(x) = 4 {x}^{3} + 1 \: ,x_{0} = - 1 \\ b)f(x) = \sqrt[3]{5x + 3} \: ,x_{0} = 1 \\ c)f(x) = {2}^{x} \: ,x_{0} = - 1 \\ d)f(x) = \frac{1}{ \sqrt{x + 4} } \: ,x_{0} = 1$

Answer 1

a) f(x) = 4x³+1
f'(x) = 12x²
f'(-1) = 12•(-1) = -12
Valoarea are sens, deci, funcția are derivată in punctul x₀ = -1
D = ℝ

b) f(x) = ³√(5x+3) = (5x+3)^(1/3)
f'(x) = (1/3)(5x+3)^(1/3-1)•5
f'(x) = (5/3)•(5x+3)^(-2/3)
f'(1) = (5/3)•8^(-2/3) = (5/3)•(1/8)^(2/3)
Are sens, deci e derivabilă în punctul 1.
D = ℝ

c) f(x) = 2ˣ
f'(x) = 2ˣln(2)
f'(-1) = 2 ⁻¹ln(2) = ln(2) / 2

Are sens => e derivabilă în punctul
x₀ = -1
D = ℝ

d) f(x) = 1/√(x+4) = (x+4)^(-1/2)
f'(x) = (-1/2)(x+4)^(-1/2-1) =
= (-1/2)(x+3)^(-3/2)
f'(1) = (-1/2)•4^(-3/2) = (-1/2)•(1/4)^(2/3)
Are sens => e derivabila in x₀ = 1.
D = (-4, +∞)