Question

Să se arate că în orice triunghi ABC are loc relația ab*cosC+bc*cosA+ca*cosB= 1/2(a²+b²+c²), unde a, b, c, sunt lungimile laturilor BC, AC respectiv AB. Help, nu știu cum să fac.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Aplici T.Cosinusului

a²=b²+c²-2bc·cosA

b²=a²+c²-2ac·cosB

c²=a²+b²-2ab·cosC. Trecând termeni, ⇒

2bc·cosA=b²+c²-a²

2ac·cosB=a²+c²-b²

2ab·cosC=a²+b²-c². Adunăm ultimele 3 relații, parte cu parte, ⇒

2bc·cosA+2ac·cosB+2ab·cosC=b²+c²-a²+a²+c²-b²+a²+b²-c², ⇒

2·(bc·cosA+ac·cosB+ab·cosC)=a²+b²+c², ⇒

⇒bc·cosA+ac·cosB+ab·cosC=(1/2)·(a²+b²+c²).