Question

Sa se arate ca, in orice triunghi ABC, avem 2(bc cosA+ac cosB+ab cosC)= a^2+b^2+c^2

Answer 1

Pai din teorema cosinusului obtii a^2=b^2+c^2-2*b*c*cosA adica 2*b*c*cosA=b^2+c^2-a^2.
Analog: 2*c*a*cosB=c^2+a^2-b^2 si 2*a*b*cosC=a^2+b^2-c^2.

Insumand aceste trei egalitati obtinem ca 2*(bc*cosA+a*c*cosB+a*b*cosC)=(b^2+c^2-a^2)+(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)=a^2+b^2+c^2, ceea ce trebuia aratat.

Sarbatori fericite! Ho, ho ho! ;)

Answer 2

Aplicăm teorema cosinusului și membrul stâng al relației devine :

2bc(b² + c² - a²)/2bc +2ac(a² + c² - b²)/2ac +2ab(a² + b² - c²)/2ab

După simplificări, rezultă :

b² + c² - a² + a² + c² - b² + a² + b² - c².

Reducem termenii opuși și obținem a² + b² + c².