Question

Sa se arate ca nu exista un numar n natural pentru care $n^{2009}=n^{2008}+2009$


Eu am plecat de la ideea ca exista, astfel am facut $n^{2009} - n^{2008} = 2009 =\ \textgreater \ n^{2008} ( n - 1 ) = 2009 =\ \textgreater \ \\=\ \textgreater \ n - 1 = \frac{2009}{n^{2008}}$


De aici, singurul numar natural care ridicat la puterea 2008, divide pe 2009 este 1, ceea ce duce la:


$n = 1 =\ \textgreater \ 1 - 1 = \frac{2009}{1^{2008}}$


Ceea ce este fals, astfel, nu exista un n natural pentru care acea expresie sa fie adevarata.

Answer 1

n²⁰⁰⁹ = n²⁰⁰⁸ + 2009

n²⁰⁰⁸•n = n²⁰⁰⁸ + 2009

n²⁰⁰⁸ + (n-1)•n²⁰⁰⁸ = n²⁰⁰⁸ + 2009

(n-1)•n²⁰⁰⁸ = 2009

(n-1)•n•n²⁰⁰⁷ = 2009

(n-1)•n este par oricare ar fi n.

Iar un număr par înmulțit cu orice alt număr este tot par.

Deoarece (n-1)•n•n²⁰⁰⁷ este par, iar 2009 este impar,

⇒ (n-1)•n•n²⁰⁰⁷ = 2009 (Contradicție!)

⇒ n²⁰⁰⁹ = n²⁰⁰⁸ + 2009 este falsă oricare ar fi n natural.