Question

sa se arate ca numarul S=1 +3 3^2 3^3 3^4 ...3^375 3^375 3^377 se divide cu 13. Va rog ajutati-ma chiar nustiu.am încercat pe mii de foi și nu mi-a ieșit va rog frumos dacă vedeți exercițiul asta ajutati-ma chiar nustiu!!!

Answer 1

Daca S=un numar divizibil cu 13 putem demonstra asta prin ultimul numar adica 3^377*1+3 si daca acel numar e divizibil cu 3 inseamna ca S se divide cu 13

Answer 2

$S= 1+3+3^2+3^3 +3^4+3^5+3^6+3^7+3^8 + ... +3^{77}$

Daca privim cu atenţie, observam ca suma S contine 78 de termeni.

78 este un multiplu al lui 3, deci se pot grupa termenii câte trei, astfel:

$(1+3+3^2)+3^3(1+3+3^2)+3^6(1+3+3^2)+ ... +3^{75}(1+3+3^2)$

Fiecare paranteza este egala cu 13 si suma devine:

$S=13+3^3\cdot13+3^6\cdot13+ ... +3^{75}\cdot13$

$S = 13(1+3^3+3^6+ ... +3^{75}) \ \Longrightarrow S\in M_{13} \Longrightarrow S\vdots 13$