Question

Sa se arate ca pentru orice n apartine N* numarul

[radical(n^2+1)]+[radical(n^2+2)]+....+[radical(n^2+n)] este patrat perfect.

Parantezele patrate se refera la partea intreaga a termenilor.

Answer 1

Stim ca radical dintr-un patrat perfect produce un numar natural
$\sqrt{n^{2}}=n$
Urmatorul numar intreg este obtinut din radicalul urmatorului patrat perfect
$\sqrt{n^{2}+2n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}=n+1$ Atunci inseamna ca orice numar din sir notat generic $\sqrt{n^{2}+k}$ unde k apartine lui 1...n vor avea valori intre aceste doua numere
$\sqrt{n^{2}}<\sqrt{n^{2}+k}<\sqrt{n^{2}+2n+1}=\sqrt{(n+1)^{2}}$
Facem acum partea intreaga a numerelor
$[\sqrt{n^{2}}]=n<=[\sqrt{n^{2}+k}]<[\sqrt{(n+1)^{2}}]=n+1$
Deci partea intreaga este mai mica decat n+1, dar totusi mai mare decat n in valoare absoluta(cu zecimale), deci este egala cu n din punct de vedere al intregului
Atunci avem n numere adunate fiecare avand aceeasi parte intreaga n
$[\sqrt{n^{2}+1}]+[\sqrt{n^{2}+2}]+..+<span>[\sqrt{n^{2}+n}]=n+n+..+n=n*n=n^{2}</span>$