Question

sa se arate ca sirul (yn)n,yn=n+1/n+2 este marginit

Answer 1

Limita inferioara va fi m = 0 iar limita superioara va fi M = 1.

Observi acest lucru calculand primii 3 termeni ai sirului.

y(1) = (1+1)/(1+2) = 2/3 = 0,66

y(2) = (2+1)/(2+2) = 3/4 = 0,75

y(3) = (3+1)/(3+2) = 4/5 = 0,8

0 < y(n) < 1, ∀ y ∈ N

- inegalitatea de mai sus trebuie demonstrata prin metoda inductiei matematice

Prima data pentru limita inferioara:

P(n) : y(n) > 0, ∀ y ∈ N

Presupunem P(n) adevarata

P(n) implica P(n+1)

P(n+1): y(n+1) > 0

y(n+1) = (n+1+1)/(n+1+2) = (y(n)+1)/(y(n)+2)

Definindu-l pe P(n+1), am obtinut chiar o relatie in functie de P(n), deci P(n+1) adevarata, rezulta P(n) adevarata, deci m = 0.

Vei face acelasi lucru si pentru limita superioara (vei nota cu alta variabila, de exemplu P(k) )

Sirul are limita inferioara, m = 0 (1)

Sirul are limita superioara, M = 1 (2)

Din (1) si (2) ⇒ sirul este marginit