Question

Sa se arate ca suma tuturor numerelor naturale care dau acelasi cat la impartiea cu 2005, este divizibila cu 2005.

Answer 1

Se foloseste teorema impartirii cu rest. Vom avea 2005 numere care dau acelasi cat la impartirea la 2005 dar resturi diferite.
a1=2005*b+0
a2=2005*b+1
a3=2005*b+2
..........................
a2005=2005*b+2004

Adunam toate aceste numere.
a1+a2+a3+............+a2005=2005^2*b+0+1+2+......+2004
=2005^2*b+2004*2005:2
=2005^2*b+2005*1002
=2005*(2005*b+1002)
Am aratat ca suma numerelor se poate scrie ca produsul dintre 2005 si un alt numar, ceea ce inseamna ca este divizibil cu 2005.

(a1,a2 s.a.m.d. a indice 1, a indice 2....)
(2005^2 este 2005 la puterea a doua)