Question

Să se arate că
${x}^{2} + 3xy + 4 {y}^{2} \geqslant 0$
oricare ar fi x, y € R.
Vă rog frumos să-mi explicați, pentru clasa a IX-a.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

${x}^{2} + 4xy + 4{y}^{2} \geqslant xy \\ {(x + 2y)}^{2} \geqslant xy \\ {(x + 2y)}^{2} \geqslant \frac{ {(x + y)}^{2} }{4} \\ 4 {(x + 2y)}^{2} \geqslant {(x + y)}^{2}$

de aici se vede ca intr-adevar aceasta inegalitate este adevarata. Pentru a-ți de unde am luat (x + y)^2/4 trebuie sa ne uitam la inegalitatea dintre media aritmetica si geometrica, mai precis:

$\sqrt{xy} \leqslant \frac{x + y}{2}$

am ales aceste două expresii deoarece noua ne trebuie cea mai mare valoarea a lui xy, si avand in vedere ca media aritmetica este mai mare sau egala cu media geometrica, aceasta combinatie este perfecta. Iar mai departe se poate vedea clar că (x + 2y)^2 >= (x+y)^2. Nici nu mai trebuie acel 4, dar așa merge matematica.

Sper ca te-am ajutat! Daca nu ai înțeles ceva, poți să scrii in comentarii, sunt mereu dispus sa te ajut.