Question

Sa se arate ca urmatoarele ecuatii au cel putin o solutie in intervalul dat:
a) arctg x=ln x, I=(0,+∞);
b) x + ln x =0 , I=[0,1];

Answer 1

a) fie f(x)=arctgx-lnx  ; f(x) :R+->R
lim cand x->0 din f(x) =0-(-∞)=∞
lim cand x->∞ din f(x) =π/2-∞=-∞
deci f(x) surjectiva pe R

f'(x) =1/(1+x²)-1/x=x-(1+x²)/(1+x²)= -(x²-x+1)/(1+x²)  care este <0, ∀x∈R+, pt ca x²-x+1>0 ,∀x∈R⊃R+
deci functia f(x) este strict descrescatoare pe R+
cum este si surjectiva⇒f(x) bijectiva, ia orice valoare reala o data si numai odata
deci si valoarea 0 o  va lua exact o data
 adica arctgx-lnx= 0 pt o anumita a valoare a lui x
deci ecuatia arctgx=lnx va avea o solutie si numai una

b) fie functia f(x) :(0;1]=x+lnx
lim x->0 f(x) = 0+ (-∞)=-∞
 f(1)=1+ln1= 1+0=1
deci Imaginea lui f(x) = (-∞;1]

f'(x) =1+1/x=  (x+1)/x >0 ,∀x∈(0;1]
deci f(x) crescatoare, deci injectiva,deci va lua toate valorile cuprinse intre -∞ si 1 o data si doar o data deci si valoarea 0  va lua o singura data pt x∈(0;1] ⊂[0;1], deci ecuatia x+lnx va avea o singura solutie in intervalul (0.1] ⊂[0;1]
pt x=0 ecuatia nu are sens, deoarece ln x nu exista