Question

Să se arate că următoarele funcții sunt injective:
1) f:R—->R, f(x)={2x+1 <=0 x+5, x>0
2) f:R——>R, f(x)={2x, x<=0 x+2, x>0

Answer 1

O functie este injectiva daca oricare ar x1 si x2 apartinand domeniului de definitie au f(x1)=f(x2), atunci x1=x2.
1)
f: R->R, f(x)= 2x+1, x≤0
                      x+5, x>0
Daca x≤0, f(x)=2x+1
Fie x1 si x2 ∈(-∞;0]. f(x1) si f(x2) vor fi f(x1)=2x1+1 si f(x2)=2x2+1. Daca f(x1)=f(x2), avem:
2x1+1=2x2+1
Scazand 1 din ambii membrii avem:
2x1=2x2, adica x1=x2 => f-injectiva
Daca x>0, f(x)=x+5
Fie x1 si x2 ∈(0;∞). f(x1) si f(x2) vor fi f(x1)=x1+5 si f(x2)=x2+5. Daca f(x1)=f(x2), avem:
x1+5=x2+5
Scazand 5 din ambii membrii avem:
x1=x2 => f-injectiva.
Astfel din cele prezentate mai sus, f e injectiva pe R.

2)
f: R->R, f(x)= 2x, x≤0
                      x+2, x>0
Daca x≤0, f(x)=2x
Fie x1 si x2 ∈(-∞;0]. f(x1) si f(x2) vor fi f(x1)=2x1 si f(x2)=2x2. Daca f(x1)=f(x2), avem:
2x1=2x2, adica x1=x2 => f-injectiva
Daca x>0, f(x)=x+2
Fie x1 si x2 ∈(0;∞). f(x1) si f(x2) vor fi f(x1)=x1+2 si f(x2)=x2+2. Daca f(x1)=f(x2), avem:
x1+2=x2+2
Scazand 2 din ambii membrii avem:
x1=x2 => f-injectiva.
Astfel din cele prezentate mai sus, f e injectiva pe R.