Question

Sa se arate ce pentru orice numar n apartine N are loc relatia:
$3^{2n - 1} + 2 \times 2^{n} divizibil \: cu \: 7$
Va rog prin inductie matematica​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Ca observatie, enuntul are o mica problema, n trebuie sa fie natural nenul; daca n=0 atunci nu are loc relatia.

De asemenea:

$3^{2n-1} + 2\cdot 2^n = 3^{2n-1} + 2^{n+1}$

Asadar:

$1. \ verificam\ daca\ relatia\ are\ loc\ pentru\ n = 1$

$3^{2n-1} + 2^{n+1} = 3^{2\cdot1-1} + 2^{1+1} =3^{2-1} + 2^{1+1} = 3^{1} + 2^{2} = 3 + 4 = 7\ ,\ care\ este\ divizibil\ cu\ 7\ .$

$2.\ presupunem\ ca \ relatia\ are\loc\ pentru\ n\ si\ aratam\ca\ are\ loc\ si \ pentru\ n+1$

$3^{2n-1} + 2^{n+1}\ este\ divizibil\ cu\ 7\ , adica\ exista\ numarul\ natural\ A \ astfel\ incat\ 3^{2n-1} + 2^{n+1} = 7\cdot A$$Si \ atunci\ 3^{2n-1} = 7\cdot A - 2^{n+1}$

$Pentru\ n+1:$

$3^{2(n+1)-1} + 2^{(n+1)+1} = 3^{2n+2-1} + 2^{n+1+1} = 3^2\cdot 3^{2n-1} + 2\cdot 2^{n+1} =$

$=9\cdot 3^{2n-1} + 2\cdot 2^{n+1} =9(7\cdot A - 2^{n+1}) + 2\cdot 2^{n+1} = 63\cdot A - 9\cdot 2^{n+1} + 2\cdot 2^{n+1} =$

$= 63\cdot A +2^{n+1}(-9 + 2) = 63\cdot A -7\cdot 2^{n+1} = 7(9\cdot A - 2^{n+1}),\ care\ este\ divizibil\ cu\ 7\ .$