Question

Sa se calculeze acest exercitiu:

Answer 1

Intai identificam cine este I₂.                                                          

$I_2= \int\limits^1_0 { \frac{x^2}{x^3+1} } \, dx$

Remarcam ca daca derivam expresia de la numitor, suntem foarte aproape de numarator.

$(x^3+1)'=3x^2$
Nu ne place ca avem acel 3 in fata, asa ca vom inmulti expresia cu 1/3 si integrala devine

$I_2= \frac{1}{3} \int\limits^1_0 { \frac{(x^3+1)'}{x^3+1} } \, dx$

Pai aici avem formula pentru primitiva si obtinem

$I_2= \frac{1}{3}(\ln|x^3+1|)|_0^1= \frac{1}{3}\ln(x^3+1)|_0^1= \\ = \frac{1}{3} (\ln2+\ln1)= \frac{1}{3}\ln2$
Exact ce trebuia demonstrat.