Question

sa se calculeze determinantul matricei A la puterea 2010

A=

Answer 1

$\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\3&-1\end{array}\right]^2 = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\-6&1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\3&-1\end{array}\right]^3 = \left[\begin{array}{ccc}-1&0\\9&-1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\3&-1\end{array}\right]^4= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\-12&1\end{array}\right]$

Se observă uşor că matricea la puterea n va fi de forma:

$\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\3&-1\end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{ccc}(-1)^n&0\\-3n*(-1)^n&(-1)^n\end{array}\right]$

(se demonstrează prin inducţie matematică)

Din moment ce termenul de pe linia 1, coloana 2 este mereu 0, înseamnă că determinantul este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală, adică:

$determinantul = (-1)^n * (-1)^n = (-1)^{2010} * (-1)^{2010} = 1$