Question

Sa se calculeze folosind S1 si S2 suma urmatoare:
n
∑ (2k+3)k
k=1

Answer 1

Desfaci paranteza și o sa ai:
Suma de la k=1 pana la n din 2k^2 + 3k
Asta poți desface in 2 sume:
Suma din 2k^2 + suma din 3k
De aici, pui termenul liber in fata:
2* suma din k^2 + 3* suma din k
Acum înlocuiești cu n
2* ( 1+2^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n)=
= 2* n(n+1)(2n+1)/6 + 3*n(n+1)/2=
Aduci la același numitor
[2n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1)] /6
Eventual poți da factor comun
n(n+1)(4n+2+9)/6 =
= n(n+1)(4n+11)/6

Answer 2

$\sum\limits_{k=1}^n (2k+3)\cdot k = \\ = \sum\limits_{k=1}^n (2k^2+3k) = \sum\limits_{k=1}^n 2k^2 + \sum\limits_{k=1}^n 3k = \\ = 2\cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2+3\cdot \sum\limits_{k=1}^n k = \\ \\ = 2\cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+3\cdot \dfrac{n(n+1)}{2} =\\ \\= n(n+1)\cdot \left(2\cdot \dfrac{2n+1}{6} + 3\cdot \dfrac{1}{2}\right) = \\ \\ = n(n+1)\cdot \left(\dfrac{2n+1}{3}+ \dfrac{3}{2}\right) = \\ \\= n(n+1)\cdot \dfrac{2\cdot(2n+1) + 3\cdot 3}{6} =\\ \\= n(n+1)\cdot \dfrac{4n+11}{6} = \\ \\= \dfrac{n(n+1)(4n+11)}{6}$