Question

Sa se calculeze limitele sirurilor cu termenul general.​

Answer 1

Răspuns:

Șirul dat tinde la 0.

Explicație pas cu pas:

$x_{n}=\frac{1+2+2^{2}+...+2^{n} }{1+3+3^{2}+...+3^{n} }$

Mai întâi, vom aduce la o formă mai simplă numărătorul și numitorul.

Vom demonstra prin inducție matematică următoarele afirmații:

• $1+2+2^{2}+...+2^{n}=2^{n+1}-1$

$P(n): 1+2+2^{2}+...+2^{n} =2^{n+1}-1 \\ P(1): 1+2=2^{2}-1 =3 (Adevarat)\\P(n+1): 1+2+2^{2}+...+2^{n} +2^{n+1}=2^{n+2}-1$

Folosim faptul că P(n) este adevărată și demonstrăm că și P(n+1) este adevărată.

$1+2+2^{2}+...+2^{n}+2^{n+1} =2^{n+1}-1+2^{n+1}=2^{n+2}-1 (Adevarat)$

• $1+3+3^{2}+...+3^{n} =\frac{3(3^{n}-1) }{2}+1$

$P(n): 1+3+3^{2}+...+3^{n} =\frac{3(3^{n}-1) }{2}+1 \\P(1): 1+3=\frac{3(3-1)}{2} +1=4 (Adevarat)\\P(n+1): 1+3+3^{2}+...+3^{n}+3^{n+1} =\frac{3(3^{n+1}-1) }{2}+1$

Folosim faptul că P(n) este adevărată și demonstrăm că și P(n+1) este adevărată.

$1+3+3^{2}+...+3^{n}+3^{n+1}=\frac{3(3^{n}-1) }{2}+1 +3^{n+1}=\frac{3(3^{n+1}-1) }{2}+1 (Adevarat)$

Astfel, avem $x_{n} =\frac{2^{n+1}-1 }{\frac{3(3^{n}-1) }{2}+1 }=\frac{2^{n+2}-2 }{3^{n+1}-1 }$.

Trebuie să calculăm:

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+2}-2 }{3^{n+1}-1 } = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}[(\frac{2}{3})^{n+1} 2-\frac{2}{3^{n+1} }] }{3^{n+1}(1-\frac{1}{3^{n+1} }) } = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^{n+1} 2-\frac{2}{3^{n+1} }}{1-\frac{1}{3^{n+1} }}$$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3}) ^{n+1} 2-\frac{2}{3^{n+1} }= \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3}) ^{n+1} 2- \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^{n+1} }=2 \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3}) ^{n+1}-\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^{n+1} }=0-0=0$

$\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{3^{n+1} }= \lim_{n \to \infty} 1- \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3^{n+1} }=1-0=1$

Atunci, $\lim_{n \to \infty} x_n=\frac{0}{1} =0$.

Q.E.D.