Question

Sa se calculeze suma [lg 1] + [lg 2] + [lg 3] + ... + [lg 10^2010]

Answer 1

Salut,

Asta e o problemă grea. Îţi propun soluţia de mai jos.

[lgk] reprezintă partea întreagă a lui lgk, lg e logaritm în baza 10. Notăm cu S suma din enunţ.

$Avem\;c\u{a}:\;[lgk]=k,\;dac\u{a}\;10^k\leq k<10^{k+1}.$

Va trebui să împarţim suma S în mai multe părţi, cam aşa:

$S_0 = [lg1]+[lg2]+\ldots+[lg9]=0+0+\ldots+0\;(de\;9\;ori)=0;$

$S_1 = [lg10]+[lg11]+\ldots+[lg99]=1+1+\ldots+1\;(de\;90\;de\;ori)=90=9\cdot 10^1;$

$S_2=[lg100]+[lg101]+\ldots+[lg999]=2+2+\ldots+2\;(de\;900\;de\;ori)=2\cdot 900 = 2\cdot 9\cdot 10^2;$

$S_3=[lg1000]+[lg1001]+\ldots+[lg9999]=3+3+\ldots+3\;(de\;9000\;de\;ori)=3\cdot 9000 = 3\cdot 9\cdot 10^3;$

...

$S_{2009}=[lg10^{2009}]+[ lg10^{2009}+1]+\ldots+[lg999\ldots 9]=2009+2009+2009+\ldots+2009\;(de\;9\cdot10^{2009}\;ori) = 2009\cdot9\cdot10^{2009};$

$S_{2010}=[lg10^{2010}]=lg10^{2010}=2010.$

$S=S_0+S_1+S_2+S_3+\ldots+S_{2009}+S_{2010}=0+9\cdot10^1+2\cdot9\cdot10^2+3\cdot9\cdot10^3+\ldots+2009\cdot9\cdot10^{2009}+2010=9\cdot(10^1+2\cdot10^2+3\cdot10^3+\ldots+2009\cdot10^{2009})+2010.$

$Not\u{a}m\;cu\;S_{x}=10^1+2\cdot10^2+3\cdot10^3+\ldots+2009\cdot10^{2009}.$

$Deci\;S=9\cdot S_{x}+2010.$

$Calcul\u{a}m\;10\cdot S_{x}=10^2+2\cdot10^3+3\cdot10^4+\ldots+2009\cdot10^{2010}.$

Efectuăm Sx – 10 Sx:

$S_{x}\cdot (1-10) =10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{2009}-2009\cdot 10^{2010}.$

$S_{x}=\frac{1}{9}\cdot\left[2009\cdot 10^{2010}-(10^1+10^2+10^3+\ldots+10^{2009})\right].$

$S_{x}=\frac{1}{9}\cdot\left[2009\cdot10^{2010}-\frac{10\cdot(10^{2009}-1)}{9}\right].$

Te las pe tine să preiei ştafeta şi să înlocuieşti pe Sx în expresia lui S de mai sus, pentru a finaliza rezolvarea. Spor la treabă !

Green eyes.