Question

Sa se demonstreze ca daca relatiile$\frac{a}{b-c}= \frac{m}{n-p}$ ; $\frac{b}{c-a}= \frac{n}{p-m}$ si  $\frac{c}{a-b}= \frac{p}{m-n}$  sunt simultan adevarate unde a,b,c si m,n,p sunt laturile Δ-lor ΔABC si ΔMNP, atunci triunghiurile sunt asemenea. ( Sau cu alte cuv, laturile lor sunt resp. proportionale adica --->( $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p}$). Multumesc.

Answer 1

Frumoasa problema!

Rescriem relatiile date astfel:
(1)  $\frac{a}{m} = \frac{b-c}{n-p}$

(2)  $\frac{b}{n} = \frac{c-a}{p-m}$

(3)  $\frac{c}{p} = \frac{a-b}{m-n}$

si folosim proprietatile rapoartelor egale=$\frac{suma numaratorilor}{suma numitorilor}$ =$\frac{diferenta numaratorilor}{diferenta numitorilor}$

Deci rapoartele se mai scriu:

(1)  $\frac{a}{m} = \frac{b-c}{n-p} = \frac{a+b-c}{m+n-p} = \frac{a+c-b}{m+p-n}$

(2)  $\frac{b}{n} = \frac{c-a}{p-m} = \frac{b+c-a}{n+p-m} = \frac{b+a-c}{n+m-p}$

(3)  $\frac{c}{p} = \frac{a-b}{m-n} = \frac{c+a-b}{p+m-n} = \frac{c+b-a}{p+n-m}$

Din (1) si (2) observam ca:

(4)  $\frac{a}{m} = \frac{a+b-c}{m+n-p} = \frac{b}{n}$

Din (2) si (3) observam ca:

(5)  $\frac{b}{n} = \frac{b+c-a}{n+p-m} = \frac{c}{p}$


Din (4) si (5) rezulta ca (folosim tranzitivitatea relatiei de egalitate):

$\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p}$