Question

să se demonstreze că dacă x1 este soluție a ecuației x^2-2008x+1=0, atunci x1+1/x1=2008

Answer 1

Cu semnul "*" notez inmultirea.
Daca x1 este solutie a ecuatiei de gradul al doilea x^2 - 2008x + 1 = 0, inseamna ca se poate scrie relatia:
x1^2 - 2008x1 + 1 = 0.
Asta se mai scrie, trecand pe 2008x1 in membrul drept:
x1^2 + 1 = 2008x1
Observam ca x1 este nenul, deoarece 0 nu este solutie a ecuatiei date(pentru x = 0 s-ar obtine, inlocuind in expresia ecuatiei de gradul al doilea, ca 0 = 1, ceea ce este imposibil).
Asadar, deoarece x1 este nenul, se poate imparti cu x1 relatia x1^2 + 1 = 2008x1
Se obtine: x1^2/x1 + 1/x1 = 2008x1/x1, adica:
x1 + 1/x1 = 2008.
Deci demonstratia ceruta este realizata.

Answer 2

x² - 2008x + 1 = 0
Scriem ecuatia in functie de solutiile ei:
x² - Sx + P = 0
unde:
S = x1 + x2    (suma solutiilor)
P = x1 * x2     (produsul radacnilor)

=>:
x1 + x2 = 2008
x1 * x2 = 1

=> x1 + 1 / x1 = x1 + (x1 * x2) / x1 = x1 + x2 = 2008
cctd