Question

. Să se demonstreze că pentru n€N au loc egalitățile:
puntul c!

Answer 1

Explicație pas cu pas:

c)

$\boxed{ \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{3n - 2} - \dfrac{1}{3n + 1} \bigg)}$

$\dfrac{1}{1 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 7} + ... + \dfrac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} =$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} \bigg) + \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} \bigg) + ... + \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{3n - 2} - \dfrac{1}{3n + 1} \bigg)$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{3n - 2} - \dfrac{1}{3n + 1} \bigg)$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3n + 1} \bigg) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3n + 1 - 1}{3n + 1}$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3n}{3n + 1} = \dfrac{n}{3n + 1}$

q.e.d.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Să se demonstreze că pentru n€N au loc egalitățile:

puntul c!

Fiecare fractie se poate scrie dupa modelul de mai jos:

1/1·4=1/3(1/1-1/4)

1/4·7=1/3(1/4-1/7)...........

1/(3n-2)(3n+1)=1/3[1/(3n-2)-1/(3n+1)]  ⇒

1/1·4+1/4·7+...+1/(3n-2)(3n+1)=1/3[(1/1-1/4)+(1/4-1/7).....+1/(3n-2)-1/(3n+1)] =

1/3[1/1-1/(3n+1)]=1/3[(3n+1-1)/(3n+1)]=1/3·[3n/(3n+1)]=n/(3n+1)  

Dupa cum se observa in paranteza patrata, termenul al doilea se reduce cu termenul al treilea, al patrulea cu al cincilea,... si raman la urma numai primul termen din paranteza cu ultimul. Apoi am adus la acelasi numitor diferenta din paranteza patrata.