Question

Sa se demonstreze ca sirul (an)n>=1 formeaza o progresie aritmetica daca si numai daca (1/(√a1+√a2))+(1/(√a2+√a3))+....+(1/(√an-1+√an))=n-1/(√a1+√an) oricare ar fi n€N, n>=3.

Answer 1

Amplificam fiecare raport cu, conjugatul numitorului si obtinem:
[tex] \frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{r} + \frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{r} +...+ \frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}}{r} = \frac{n-1}{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{1}}} \\ \frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}}{r}=\frac{n-1}{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{1}}}\\ a_n-a_1=(n-1)r\\ a_n=a_1+(n-1)r[/tex]
Am obtinut formula termenului general din progresia aritmetica<=>termenii sunt in progresie aritmetica.