Question

Sa se demonstreze egalitatea

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Stabilim de la început condițiile de existență: a≠b, a≠1, b≠1, a>0 și b>0.

Știm că log în baza x din y=-log in baza 1/x din y, când x≠1, x>0 și y>0.

Aplicând aceasta relație în membrul stâng avem:

log în baza b/a din (log în baza a din b)=-log in baza a/b din (log în baza a din b).

Dar cum n•log in baza x din y=log în baza x din yⁿ, când x≠1, x>0 și y>0, atunci vom obține o relație echivalenta cu relația data, și anume:

-log in baza a/b din (log în baza a din b)=log în baza a/b din (log în baza a din b)^(-1)=log în baza a/b din (1/log în baza a din b)

Folosim formula de schimbare a bazei logaritmului: log în baza x din y=log în baza z din y/log în baza z din x, când x≠1, x>0, y>0 și z≠1.

In cazul nostru, x=a, y=b și z=b.

Avem:

log în baza a/b din (1/log în baza a din b)=log în baza a/b din (1/log în baza b din b/log în baza b din a)=log în baza a/b din (log în baza b din a/log în baza b din b)=log în baza a/b din (log în baza b din a) pentru că log în baza b din b este 1.