Question

sa se demonstreze inegalitatea
$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{4n} > 1$
oricare ar fi n apartinand lui N​

Answer 1

notam cu Sn suma din enunt

nu știu dacă ai studiat inducția matematica, dar dau o astfel de rezolvare. Put caută alta daca nu ești în clasa a zecea.

verificam ptr n0

inegalitatea va fi

S4= 1/1+1/2+1/3+1/4>1 evident

presupunem că e adevărată ptr n și demonstrăm ptr n+1

Sn+1= 1/(n+2)+. 1/4(n+1)= Sn-1/(n+1)+1/(4n+1)+1/(4n+2)+1/(4n+1/(4n+4)

cum am presupus că relația Sn >1 este adevărată este necesar să arătăm că S=1/(4n+1)+....+1/(4n+4)-1/(n+1)>0

1. dar 1/(4n+1)>i/(4n+4)
2. 1/(4n+2)>1/(4n+4)...
3. deci S>4/(4n+4)-1/n+1 adică s>0 și în final Sn+1>1 oricare n. Rezultă relata din enunț este adevărată.

Answer 2

Fie șirul:

 $\it (x_n)_{n\geq1},\ x_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ ...\ +\dfrac{1}{4n}\\ \\ \\ x_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{12}$

Se arată că șirul este strict crescător, adică:

$\it\ x_{n+1}-x_n>0 \Rightarrow x_{n+1}>x_n,\ \forall\ x\in\mathbb{N}^*\\ \\ Deci,\ x_n\geq x_1 \Rightarrow x_n\geq \dfrac{13}{12}>1,\ \forall\ n\in\mathbb{N}^*$