Question

Sa se determine a∈R* pentru care inecuatia ax² +2(a+1)x+2a-1≥0 nu are solutii in multimea numerelor reale

Answer 1

Sa zicem ca am avea ecuatia de gradul II $ax^{2}+bx+c$ Aceasta ecuatie admite un punct de extrem de coordonate $[\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}]$ Acest punct de extrem este dependent de semnul lui a
Daca a<0, atunci va admite un punct de maximum deci
$ax^{2}+bx+c\leq \frac{-\Delta}{4a}$
Daca a>0 atunci va admite un punct de minimum, deci
$ax^{2}+bx+c\geq \frac{-\Delta}{4a}$
In cazul nostru ne intereseaza sa nu avem solutii pe acea multime, atunci punctul de maximum al functiei trebuie sa fie mai mic decat 0. Deci ne aflam in cazul
I) a<0 pentru a admite maximum
II)$\frac{-\Delta}{4a}< 0$ asfel incat punctum de maxim sa fie mai mic decat 0, deci nu are solutii ecuatia de mai sus
In cazul nostru avem
$\Delta=b^{2}-4ac=(2(a+1))^{2}-4a(2a-1)=4a^{2}+8a+4-8a^{2}+4a=-4a^{2}+12a+4=4(-a^{2}+3a+1)$ Deci ecuatia devine
$\frac{-\Delta}{4a}<0\Rightarrow \frac{\Delta}{4a}>0$dar a<0, deci pentru a fi raportul pe de-antregul pozitiv, delta<0
$\Delta<0\Rightarrow 4(-a^{2}+3a+1)<0\Rightarrow -a^{2}+3a+1<0$ 
Ecuatia aceasta va avea solutiile
$\Delta_{a}=9+4=13$
$a_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{-2}=-\frac{\sqrt{13}-3}{2}$
$a_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{-2}=\frac{\sqrt{13}+3}{2}$
Pentru ca semnul puterii a doua este negativ, atunci ecuatia va avea valori negative in stanga si in dreapta valorilor negative
Deci multimea de solutii este: $[-Inf,-\frac{\sqrt{13}-3}{2}] [\frac{\sqrt{13}+3}{2},+Inf]$ dar stim ca a<0, atunci solutia unica este $[-Inf,-\frac{\sqrt{13}-3}{2}]$